Quản lý dự án · Chương 4 · Mục 4.3.3

PERT — khi thời gian công việc không chắc chắn

Từ đầu tới giờ bạn luôn coi thời gian mỗi công việc là một con số cố định (CPM). Nhưng thực tế: "đổ bê tông" có thể mất 3 ngày nếu trời đẹp, 5 ngày nếu mưa. PERT xử lý sự không chắc chắn đó bằng một công thức duy nhất — và cho phép trả lời câu "xác suất xong đúng hạn là bao nhiêu?".

🎯 Trọng tâm bài

3 ước lượng a (lạc quan), m (khả dĩ nhất), b (bi quan) → T_TB = (a + 4m + b) / 6.
Độ lệch chuẩn của một công việc: σ = (b − a) / 6. Khoảng cách (b−a) càng lớn, ước lượng càng kém chắc chắn.
Phương sai dự án chỉ cộng các công việc trên đường găng: σ²_{dự án} = Σσ²_i.
Xác suất hoàn thành đúng hạn D: chuẩn hóa Z = (D − T_e) / σ_{dự án} rồi tra bảng phân phối chuẩn.
Luôn kiểm tra chéo: tổng T_TB trên đường găng phải bằng đúng T_e (thời gian dự án).

Phần 1 · Đặt vấn đề bằng ví dụ đời thường

"Bao lâu thì xong" — ba câu trả lời khác nhau

Hỏi một người thợ "sửa xong cái xe này mất bao lâu?", câu trả lời thường không phải một con số duy nhất mà là ba tình huống:

Lạc quan (tối thiểu)

"Nếu mọi thứ suôn sẻ, phụ tùng có sẵn, không phát sinh gì — 2 tiếng."

Khả dĩ nhất (bình thường)

"Bình thường như mọi khi thì khoảng 4 tiếng."

Bi quan (tối đa)

"Nếu phải đặt phụ tùng, gặp trục trặc — có thể tới 9 tiếng."

Câu hỏi PERT trả lời

Từ ba con số a, m, b đó, PERT tính ra một thời gian trung bình đại diện để đưa vào sơ đồ mạng (thay cho việc CPM chỉ dùng một số duy nhất "chắc chắn"), đồng thời cho biết con số đó "chắc" tới mức nào.

Phần 2 · Công thức gốc từ giáo trình

Phương pháp ngẫu nhiên: thời gian trung bình kỳ vọng

Định nghĩa

Coi thời gian hoàn thành một công việc là một đại lượng ngẫu nhiên chịu tác động của nhiều yếu tố bất định, với 3 tình huống: xấu nhất (b, cực đại), thuận lợi (a, cực tiểu), bình thường (m). Giả định thời gian hoàn thành công việc tuân theo quy luật phân phối chuẩn (Beta).

T_TB = (a + 4m + b) / 6

Vì sao nhân m với 4

Công thức cho tình huống "bình thường" trọng số gấp 4 lần hai tình huống còn lại (tổng trọng số 1+4+1=6, chia lại cho 6 để ra trung bình có trọng số). Cách này phản ánh đúng trực giác: kết quả gần với "bình thường" nhiều khả năng xảy ra hơn hẳn hai thái cực may/rủi — giống hệt việc lấy điểm trung bình môn học mà bài thi cuối kỳ (m) đáng giá gấp 4 lần bài giữa kỳ tốt nhất (a) và tệ nhất (b) cộng lại.

Ví dụ áp dụng

Quay lại ví dụ sửa xe: a=2, m=4, b=9 (đơn vị giờ).

Bước	Phép tính	Kết quả
1. Tính 4m	4 × 4	16
2. Cộng a + 4m + b	2 + 16 + 9	27
3. Chia cho 6	27 / 6	4,5 giờ

Thời gian trung bình kỳ vọng T_TB = 4,5 giờ — con số này được dùng làm "thời gian công việc" khi đưa vào tính ES/EF/LS/LF/đường găng, đúng như cách làm ở CPM.

Phần 3 · Đo mức độ "chắc chắn" của ước lượng

Độ lệch chuẩn và phương sai của công việc

T_TB mới chỉ là con số trung bình — nó chưa nói được ước lượng này "chắc" tới đâu. Một công việc có a=3,b=5 (chênh nhau ít) đáng tin hơn nhiều so với công việc có a=1,b=20 (chênh nhau rất lớn), dù cả hai có thể ra cùng T_TB.

Độ lệch chuẩn: σ = (b − a) / 6

Phương sai: σ² = [(b − a) / 6]²

Đọc ý nghĩa

(b − a) càng lớn — khoảng cách giữa tình huống xấu nhất và tốt nhất càng xa nhau — độ lệch chuẩn σ càng lớn, nghĩa là ước lượng càng kém chắc chắn. Chia cho 6 vì theo quy ước thống kê, khoảng [a, b] được coi là bao trùm gần như toàn bộ phân phối (~6 độ lệch chuẩn).

Phương sai của toàn dự án

Để biết cả dự án chắc chắn tới đâu (không phải từng việc riêng lẻ), cộng phương sai của các công việc nằm trên đường găng — vì chỉ đường găng mới quyết định tổng thời gian dự án:

σ²_{dự án} = Σ σ²_i (i chạy qua các công việc trên đường găng)

Phần 4 · Câu hỏi hay gặp nhất trong đề thi PERT

"Xác suất dự án xong trước ngày D là bao nhiêu?"

Vì thời gian dự án được giả định theo phân phối chuẩn với trung bình = T_e (tổng T_TB trên đường găng) và độ lệch chuẩn = σ_{dự án}, ta chuẩn hóa thành giá trị Z rồi tra bảng phân phối chuẩn:

Z = (D − T_e) / σ_{dự án}

Phần diện tích tô màu bên trái mốc D chính là xác suất dự án hoàn thành đúng hoặc trước hạn D.

Ví dụ áp dụng đầy đủ

Giả sử đường găng của một dự án gồm 3 công việc với số liệu (a, m, b) như sau:

CV	a	m	b	T_TB=(a+4m+b)/6	σ=(b−a)/6	σ²
X	2	4	6	4	0,67	0,44
Y	3	5	13	6	1,67	2,78
Z	4	6	8	6	0,67	0,44

T_e (thời gian dự án) = 4 + 6 + 6 = 16 ngày

σ²_{dự án} = 0,44 + 2,78 + 0,44 = 3,66 → σ_{dự án} = √3,66 ≈ 1,91 ngày

Hỏi: xác suất hoàn thành trong D = 18 ngày? → Z = (18 − 16) / 1,91 ≈ 1,05

Tra bảng phân phối chuẩn: P(Z ≤ 1,05) ≈ 0,853 → xác suất dự án xong trong 18 ngày khoảng 85,3%

Ghi nhớ khi đi thi

Chỉ cộng phương sai của các công việc trên đường găng — không cộng tất cả công việc trong dự án. Nếu Z âm (D nhỏ hơn Te), xác suất sẽ dưới 50% — nghĩa là hạn đặt ra khó khả thi hơn là dễ.

Phần 5 · Tự làm trước khi xem đáp án

Bài luyện tập

Một công việc có ước lượng a=6 ngày, m=9 ngày, b=18 ngày.

1. Tính T_TB của công việc này.
2. Tính độ lệch chuẩn σ.
3. Nếu đây là công việc duy nhất trên đường găng của một dự án nhỏ, xác suất dự án hoàn thành trong 12 ngày là bao nhiêu? (Tra gần đúng: Z=-0,5 → P≈0,309; Z=0 → P=0,5; Z=0,5 → P≈0,691)

Xem đáp án

1. T_TB = (6 + 4×9 + 18)/6 = (6+36+18)/6 = 60/6 = 10 ngày.

2. σ = (18−6)/6 = 12/6 = 2 ngày.

3. Z = (12 − 10)/2 = 1,0. Tra bảng chuẩn P(Z≤1,0) ≈ 0,84 — xác suất khoảng 84% (lưu ý: các mốc Z gợi ý trong đề chỉ để nội suy gần đúng; giá trị chính xác tra từ bảng phân phối chuẩn chuẩn tắc).